Le calcul des performances d'un objectif à
l'aide de la FTM
a été proposé pour la
première fois par P M Duffieux en 1935 : Université de
Besançon.
Évaluation des performances d'un
objectif.
Quelques éléments de
réponses par Jacques Roquencourt.
fig 1
Aberrations.
Exemple d'aberration d'un objectif: aberration dite
"sphérique".
Avec un objectif idéal ne produisant pas
d'aberration, les rayons issus d'un objet situé sur l'axe sont
focalisés dans l'espace image au point unique F. (dans
l'exemple de la fig 1, ces rayons sont parallèles, l'objet
étant situé à l'infini)
Tout objectif présente des aberrations: les rayons
déviés forment au niveau du plan de mise au point, une
tache image représentant les points d'impacts des rayons avec
ce plan focal. voir fig 1.
Lorsque le point objet est situé en dehors de
l'axe, le point image correspondant est une tache image se
déformant par la présence d'aberrations
supplémentaires: coma, courbure du champ, astigmatisme
augmentées des aberrations chromatiques axiales ou
extra-axiales.
Ces aberrations sont dues à la
géométrie de l'objectif; rayons de courbure,
épaisseurs, diamètres et aussi aux indices et
dispersions des différents verres.
Ce sont les aberrations dites "aberrations
géométriques".
fig 2
Fonction de transfert de la modulation.
La figure 2 (a) représente une mire objet
constituée alternativement de trait blanc et de trait noir. Un
trait blanc et un trait noir donnent une paire de lignes.Sur cet
exemple pour la longueur L nous avons 3 paires de lignes ou 3 pl/L.
Dans le système MKSA, l'unité de longueur L est le
millimètre. Cela donne pour cet exemple 3 pl/mm
Le trait blanc représente le trait lumineux , le
trait noir est le trait "sans lumière"
Un point A situé au bord du trait lumineux sur la
mire objet (fig 2b) est représenté, si l'objectif n'a
pas d'aberration, par le point A1 de la fig 2c.
Pour un objectif aberrant, le point image A1 est une tache
image, comme l'exemple de la fig 1.
Une partie des rayons déviés du point A1
(fig 2c) illuminent le point image représentant le trait noir
voisin.De part la présence de ces rayons déviés
le niveau du trait noir passe du niveau zéro au niveau B2 de
cette même figure (niveau min). Ces rayons ainsi
déviés, ne participant plus au niveau A1, font baisser
l'intensité de ce point lumineux. Le niveau A1 passe au niveau
B1 (niveau max sur la fig 2). Le résultat est une baisse du
contraste entre le trait blanc et le trait noir transmis par
l'objectif.
Lorsque le point objet se déplace vers le centre du
trait blanc, sur l'image correspondante le nombre de rayons
déviés illuminant le trait noir diminue.
L'intensité lumineuse varie comme l'indique le détail
de la même figure 2c. Le contraste de la mire image
dépend de la largeur des traits de la mire objet (nbre de
paires de lignes/mm) , du diamètre de la tache image et de sa
forme, donc de la correction de l'objectif utilisé.
La mire image est le résultat de la
"modulation"* de la mire image obtenue avec un
objectif sans aberration par la tache image de l'objectif
aberrant.
* Par analogie avec les
circuits employés en télécommunication (
modulation du signal dans le temps "t" ), la mire est la modulation
dans l'espace du signal optique ( modulation en "x et y" ). Ce
dernier est modifié (remodulé) par la tache
image.
Par définition la fonction de transfert de
contraste d'un objectif est:
Modulation=(Imax-Imin)/(Imax+Imin)
fig 3
Diffraction.
Principe d'Huygens-Fresnel.
Les rayons issus de la pupille de sortie, pertubés,
diffractés par la présence du diaphragme,
interfèrent entre eux.
La présence de la limitation du faisceau de rayons
par ce diaphragme (ou de la dimension des lentilles) modifie la
propagation des rayons. Ceux-ci sont déviés et
n'arrivent plus au même point. Ils "interfèrent" entre
eux.
Un point objet n'aura donc jamais pour image un point
image, mais une tache lumineuse.
exemple: la tache d'Airy pour un objectif sans aberration.
tache centrale très lumineuse suivie d'anneaux de
moins en moins lumineux; le diamètre de la tache centrale et
des anneaux étant fonction du diamètre des pupilles.
La diffraction est toujours présente avec ou sans
aberration.
Les dimensions de la tache sont en relation directe avec
le diamètre de la pupille d'entrée et ils sont
modifiés (forme, diamètre et niveau des anneaux) par
les aberrations géométriques de l'objectif. La
réalisation mécanique du diaphragme (nombre de
lamelles) est aussi un facteur de modification.
Nous rappelons que la pupille de sortie est l'image de la
pupille d'entrée, donnée par l'objectif au complet. La
pupille d'entrée étant l'image du diaphragme vue au
travers des lentilles situées devant ce même diaphragme.
La MTF est modifiée par la présence de la
diffraction. Dans le cas de fortes aberrations
géométriques, la diffraction est négligeable au
regard de ces aberrations.
Le calcul de la MTF, pour un objectif donné,
représente "une mesure" de toutes
ces modifications apportées aux trajectoires des rayons
passant au travers de l'ouverture du diaphragme et de leurs
interférences. Ou, plus rigoureusement, ce sont les ondes
électromagnétiques "portées" par ces rayons
lumineux qui interfèrent.
fig 4
MTF ou FTM.
La MTF est représentée sur forme de courbe:
le contraste entre deux traits est indiqué sur l'axe vertical
et le nombre de pl/mm sur l'axe horizontal.
La MTF d'un objectif sans diffraction, ni aberration,
serait une droite horizontale (MTF du seul système optique
parfait: le miroir plan, image virtuelle) . Toutes les paires de
lignes sont transmises sans perte de contraste. fig 4
La MTF théorique d'un objectif parfait (sans
aberration) est représentée par cette courbe
décroissante assimilable à deux segments de droite
représentés sur cette même figure (une
trés bonne évaluation avec la première droite,
entre 0 et 0.5 fois le nombre de paires de lignes max). Cette courbe
représente la limite optimale des performances d'un objectif.
La courbe réelle se situe toujours en dessous de cette courbe
limite. La fréquence maximale transmise, appelée
fréquence de coupure, est déterminée par
l'intersection de la courbe représentant la MTF et l'abscisse.
Cette fréquence de coupure dépend de la longueur d'onde
(de la couleur de la lumière employée) et du
diamètre du diaphragme ou plus exactement du diamètre
de la pupille d'entrée de l'objectif.
Cette fréquence de coupure (nombre de paires de
lignes max) est l'inverse du produit de l'ouverture numérique
de l'objectif par la longueur d'onde exprimée en
nanomètre.
exemples : couleur
bleue-verte 0.55 micron ou 550 nanomètre et une ouverture de
F/14.
donne 1818/14=130 pl/mm pour 0 % de contraste.
d'après la courbe théorique nous avons 40 %
de contraste à 65 pl/mm: ceci pour un
objectif parfait.
Une ouverture numérique de
F/1 donne 1818 pl/mm, toujours pour 0.55 micron.
nota: pour augmenter la
résolution d'un système optique: grand diamètre;
faible longueur d'onde; assemblage en réseaux.
Évaluation de la Fonction de Transfert de
Modulation d'un objectif: MTF
fig 5
Elle est obtenue par le calcul , par la mesure, ou la
photographie d'une mire (fig5)
La détermination par le calcul s'effectue en
prenant comme mire, une mire sinusoïdale. (dans ce cas
l'intensité lumineuse varie sinusoïdalement)
La fig 5 représente une mire objet typique pour la
mesure des performances d'un objectif. Les traits sont
disposés horizontalement et verticalement. La
dissymétrie de la tache image donnera des dégradations
différentes entre les traits verticaux et les traits
horizontaux de cette mire. Dans le cas d'une mire objet placée
perpendiculairement à l'axe de l'objectif, les traits
horizontaux permettent d'évaluer la MTF dite "sagittale", les
traits verticaux permettent d'évaluer la MTF dite
"tangentielle".
fig 6
exemple: l'objectif de Petzval à F/3.6 : 1/2 champ
soit de 0 (axe) à 55 mm.
Lecture des courbes de MTF
exemple: l'objectif de Daguerre.
La courbe rouge représente la
référence: la MTF du même objectif
étudié mais sans aberration.
La MTF en différents points du champ est
représentée par deux courbes: la MTF tangentielle et la
MTF sagittale.
Résolution de l'oeil.
La résolution de l'oeil est de 1' d'arc, soit pour
une distance de 300 mm, 6 pl/mm
(chiffre mesuré pour un jeune sujet, il tend vers 3
pl/mm pour un adulte).
remarque: la qualité des premiers objectifs
est suffisante, les photographies sont le résultat direct de
la prise de vue, sans agrandissement.
Exemple de calcul complet: objectif de Petzval:
ouverture F/3.6.
ouvrier chez les "Chevalier"
De la courbe fig 4, nous pouvons
en déduire l'équation de la droite représentant
la MTF théorique d'un objectif parfait, variant entre 1 et 0,4
de taux de modulation (ou contraste), calculée pour une
longueur d'onde de 0.55µm.
Nous pouvons l'appliquer pour
déterminer la MTF
chromatique* d'un objectif sans aberration, avec une très
bonne précision.
* pour une courbe de sensibilité chromatique
symétrique par rapport à 0.55µm.
avec
F= nombre de paires de lignes par
mm
ouv= le chiffre de l'ouverture
numérique: ex 4, 5.6, 16.
le contraste est donné en
%.
Exemple: F=40 pl/mm; ouv= 8:
contraste= 0.788 soit 78.8% de contraste.
tableau indiquant les valeurs du
contraste pour 5, 10, 20, 40 pl/mm.
Les opticiens*
représentent le contraste, à une ouverture
donnée, en réseaux de courbes pour 5, 10, 20, 40 pl/mm
en fonction du champ de l'image. Ce qui donne Y= 21.6mm pour le
format 24X36 mm.
Les courbes pour un objectif sans
aberration, sont un réseau de droites horizontales dont les
valeurs de contraste sont indiquées dans le tableau
ci-dessus.
Il est donc possible de comparer
les résultats obtenus pour un objectif donné, avec ceux
d'un objectif parfait.
Nota:
pour 30pl/mm et une ouverture de F/8, nous obtenons 84% de
contraste.(nota: Canon indique dans ses documentations que certains
de ses objectifs donnent 100% de
contraste pour 30pl/mm à F/8 !!!!!......)
Quelques
compléments d'analyse et de comparaison sur les optiques de
Leica et de Schneider pour deux
objectifs semblables en distance focale mais, pour des formats
différents.
Apo-Symmar - contraste pour
F=22/100 mm: champ: 100= 72.5mm.
A cette ouverture de F/22, le
champ couvert par l'objectif correspond sensiblement au format 4X5
inch.
Donc de larges
possibilités de décentrement pour le format 6X9
cm.
MTF de l' Apo-ronar
de 240 mm de distance focale de Rodenstock.
objectif de
reproduction.
pour un rapport d'agrandissement
de 1/20 et 1/1.
(copies d'écran sur
l'ancien site de Mr Paul Butzi :www.butzi.net de la notice de
Rodenstok)
Notre précédant
tableau de MTF théorique donne pour 5, 10 et 20 pl/mm à
F/22
respectivemnt 93, 85 et 71 % de
contraste pour un objet situé à l'infini.
Dans le cas d'un rapport
d'agrandissement M, il faut
multiplier dans notre formule précédente
OUV par
1+M.
soit dans le cas de l'apo-ronar,
pour M=1:
85, 70, 41 % de contraste pour 5,
10, et 20 pl/mm.
Compléments.
* nota: Les fabricants de moyens formats nous annoncent des
capteurs à 100Mpx; les opticiens seront obligés de
calculer des optiques résolvant un nombre de paires de lignes
supérieur à 100 pl/mm pour exploiter ces 100Mpx. Nous
rappelons que la limite de résolution en nombre de paires de
lignes/mm est donnée par 1818/ouv (coupure = 0% de contraste),
soit pour une ouverture de F/11, une coupure à = 165 pl/mm.
Les données des 40 pl/mm ne
seront pas suffisantes pour connaître les performances d'un
objectif.
Notre première formule est
correcte pour un taux de modulation supérieur ou égal
à 40%.
Dans ce cas, nous proposons l'expression
suivante, donnant les valeurs de contraste entre 1 et 0,2 (entre 100%
et 20%), avec une sur-évaluation de quelques %.
Le dernier
Apo-Summicron 2 de 50 mm de Leica.
Comparer les valeurs
obtenues à F/5.6 avec le contraste d'un objectif sans
aberration.
tableau indiquant les valeurs du
contraste pour 5, 10, 20, 40 pl/mm.
Ce que dit
Leica:
"Le nouvel objectif
Leica APO-Summicron-M 1:2/50 mm ASPH. souligne une fois de plus le
rôle précurseur de Leica dans le domaine de l'optique.
Car avec lui, les ingénieurs Leica ont réussi à
repousser les limites du techniquement réalisable, et à
établir de nouveaux critères de référence
en matière de qualité de reproduction. Pour la
première fois, un objectif exploite toutes les
possibilités des systèmes de prise de vue en haute
résolution.
L'objectif marque un
nouveau jalon dans l'histoire du design de l'optique et atteint, en
matière de caractéristiques de performance, des valeurs
jusque-là inédites. Comme les courbes MTF
décrivant la netteté de l'image : ces courbes ne
chutent pratiquement pas sur les bords, même à pleine
ouverture. Même les détails les plus fins sont
reproduits avec un contraste de plus de 60 % - une mesure
jusque-là inédite qui prouve le caractère
exceptionnel de l'objectif.
Ce contraste
élevé permet, dans toutes les situations de prise de
vue, des images extrêmement nettes jusque dans les angles. En
outre, la correction apochromatique de l'objectif réduit les
franges colorées au niveau des angles et garantit une
reproduction naturelle de tous les détails. Il en
résulte des images exceptionnelles, même pour les
impressions grand format. Avec le nouveau Leica APO-Summicron-M
1:2/50 mm ASPH., les photographes exigeants ont à leur
disposition un objectif haute performance pour les distances focales
standard."
.
